Cette approximation est valable jusqu'à plus de 8 décimales pour z ayant une partie réelle supérieure à 8. Convergence et somme de cette série. Message par guiguiche » lundi 17 janvier 2011, 09:23, Message On ecrit donc que
n/racine(n+1)>U2n-Un>n/racine(n)
or n/racine(n)=racine(n/2)
et lim n-> +infini n/racine (n+1)=+ infini
,lim n-> +infini n/racine (n/2)=+infini
donc d'apres le théoreme des gendarmes, lim n tend vers + infini (u2n-un)=+infini. Il s’agit également du développement asymptotique de la fonction gamma. La formule précédente est une conséquence, pour le cas particulier d'un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction gamma : Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n : Dans √n, si l'on remplace n par n + 1/6, les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper) ; on peut aussi préférer un encadrement[5] ; enfin, on peut prendre la suite A055775 de l'OEIS. (Oral Ccp) Trouver la constante K telle que S_n = sum(1/sqrt(k),k=n+1..2n) ~ K*sqrt(n) Si tu écris pour tous les k de 1 à n et que tu ajoutes toutes les inégalités membre à membre. par rador » mercredi 12 janvier 2011, 14:03, Message Robert H. Windschitl l'a suggérée en 2002 pour calculer la fonction gamma avec une bonne précision sur des machines à calculer à programme ou mémoire de registre limité(e)[6]. par Tonn83 » samedi 15 janvier 2011, 11:45, Message Désolé, votre version d'Internet Explorer est, Familles numériques sommables - supérieur, Complément sur les Séries de fonctions : Approximations uniformes - supérieur. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand[9]. et je voit pas comment en déduire que la suite (Un-2*racine(n)) est convergente. je doit donner un equivalent simple de la somme des des k allant de 0 à n de 1/racine(k) j'ai tenté de dire que racine(k)=k^1/2 et donc que Sn= somme de K^-1/2 mais je tourne en rond. La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini : où le nombre e désigne la base de l'exponentielle. par contre pour la limite de Un je voit pas comment faire. Ma question: Quand est-ce qu'on on peut som Bonsoir, ha non la limite de chaque terme est 0 mais entre n+1 et 2n il y en a n et donc de plus en plus donc tu ne peux pas conclure que la somme tend vers 0. Si tu écris pour tous les k de 1 à n et que tu ajoutes toutes les inégalités membre à membre. Au centre tu as donc
A gauche car tous les autres termes se simplifient
A droite, pareil ça donne
Donc on obtient
mais qui tend vers -2
donc qui est monotone et borné tend vers une limite finie. Approximations exploitables pour des machines à calculer, formule asymptotique de Stirling pour la fonction gamma, cet exercice corrigé de la leçon « Séries numérique », Intégration de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Formule_de_Stirling&oldid=174013184, Article contenant un appel à traduction en anglais, Catégorie Commons avec lien local identique sur Wikidata, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de, Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la, Mais on peut aussi démontrer directement, et de façon élémentaire, un résultat plus précis sur la. Forum francophone relatif aux mathématiques avec support MathJax, LaTeX et Asymptote. au voisinage de l’infini : développement dont les numérateurs et dénominateurs sont référencés respectivement par les suites A001163 et A001164 de l'OEIS. Sachant que, à part B 1 (qui n’intervient pas dans la formule), tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls, on peut réécrire le développement (à l’ordre 2 K ) : L'apport de Stirling[2] fut d'attribuer la valeur C = √2π à la constante et de donner un développement de ln(n!) Glapion re : Somme des 1/racine carrée de (k) 09-12-12 à 22:53 Je ne comprends rien à tes calculs. Et
Et donc au final on peut dire que, Ok merci beaucoup
Ensuite pour montrer la convergence de (Un-2racine(n))
on sait que racine(k+1)-racine(k)< 1/racine(k)< -racine(k-1)+racine(k)
Un-2racine(n)=1+...+1/racine(n)-2racine(n)=1+1/racine(2)+...+1-2n/racine(n)
racine(n)*(1-2n)+infini (U2n-Un),puis limite n->+infini (Un)
2)
Comparer 1/2*(racine k), racine(k+1)-racine(k), et racine(k)-racine(k-1). n/racine(n+1)-U2n