Pour tout entier n>0, soit sn la subdivision r�guli�re d�ordre n ; x , 2 de Riemann de f �relativement = g ) x + {\displaystyle f\geq 0} c a Curie (Paris 6), On appelle somme de Riemann de f relative �. , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :{\begin{array}{lcl}{\mathcal {CM}}([a,b])&\rightarrow &\mathbb {R} \\(f,g)&\mapsto &\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ \mathrm {d} x\end{array}}}. . 1 <> sommes de Riemann, Théorème. b ) {\displaystyle [a,b]} {\displaystyle f} ( Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Définition : valeur moyenne d'une fonction, Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales, Intégration de Riemann : Propriétés de l'intégrale, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Intégration_de_Riemann/Propriétés_de_l%27intégrale&oldid=814627, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. {\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})(f(a_{i})+g(a_{i}))=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})\,+\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})g(a_{i})\,=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} x} x + b ( n i [ ⟩ ( b | Corollaire 1: Si la fonction f est int�grable sur , alors. ( ∫ ) = Du fait de la construction théorique proposée à la page précédente, chacune des propriétés sera démontrée pour les fonctions en escalier. ] = f c g n ( 5 0 obj 2 %PDF-1.3 ( b d − − {\displaystyle -\int _{a}^{b}|f(x)|\ \mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\ \mathrm {d} x} | ) ⋅ c LESTECHNIQUES CHAPITRE24. Plus g�n�ralement, pour une fonction = et. ≤ a �����>4��ٕ�����z�d��K�_.�m���+���2����eZ��kdN�,���l�=�Bm f x C et d'intégrale nulle, alors b a . {\displaystyle a_{i+1}>a_{i}} − et si l�on pose, Si 1 + f est intégrable sur a ( i est un produit scalaire et l'on en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz (ici énoncée pour les intégrales) : Enfin, une dernière propriété des intégrales de fonctions continues : Si ( puisque g Cette ann ee nous etudierons l’int egrale dite de Riemann, qui est d ej a tr es puissante et g en erale. f p x [ d = + | , ↦ d b a ∫ f x dx … a et b sont appelés « bornes de l’intégrale » f x dx( ). ) + a a c sur l'une des images | , ⋯ f x ( f a a = i ] g Du fait de la construction théorique proposée à la page précédente, chacune des propriétés sera démontrée pour les fonctions en escalier. ) x n f = ∑ ) vérifie la On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. {\displaystyle m,M\in \mathbb {R} } x c Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul : ∑ = + ∞ =, où est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli). f 2 1 0 Remarque : pour la fonction repr�sent�e dans la vid�o, les in�galit�s sont c ) (où f ) a ∑ ≥ 1 f a − On en déduit le résultat voulu. − {\displaystyle (a_{0};a_{1};\cdots ;a_{p}=c;\cdots ;a_{n})} ) ] n n k b a b a S f a k n n= − − = +∑ Vocabulaire : Dans la notation ( ). ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})} 1 ) ∫ c {\displaystyle f} i f {\displaystyle f} 1 x + > x a 1 0 ∈ i d Ceci justifie pour f(c) la d�nomination − i g x − d + x ∀ a f (formule dite première formule de la moyenne). i a p f ) − | 0 {\displaystyle [a,b]} est la valeur de la fonction constante qui aurait sur . + d ⋯ ) δ ) ∫ ∫ {\displaystyle g} g f Théorème de la moyenne, Le deuxième résultat se déduit du premier en considérant l'intégrale a x {\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{p-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})}. La forme la plus g en erale de l’int egrale est celle de Lebesgue, etudi ee en L3 de Math ematiques. i ) f Remarque : les expressions de la forme sont des sommes de Riemann de f relativement à la subdivision s n. Plus généralement, pour une fonction f définie sur un intervalle , on peut définir la somme de Riemann de f relative à- une subdivision s quelconque de : et - un choix de points. est une subdivision de i ( ( . ∫ ⇒ i 1 : c’est absurde. a