problème de bâle pdf

<>>> File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Mais ses arguments d’alors font intervenir des produits infinis de façon non rigoureuse. %�쏢 4 0 obj Le calcul s'obtient très simplement avec l'aide des outils de l'analyse harmonique. Euler obtient une notoriété immédiate. <> Line: 192 On peut y remédier en invoquant, par exemple, le théorème de convergence monotone, démontré par Beppo Levi en 1906. Cette démonstration remonte au Cours d'Analyse (en)[6] de Cauchy (1821). un problème empêche l'ouverture de ce pdf Mais, à partir du développement de la série infinie originale de sin(x)/x, le coefficient de x2 est : Ces deux coefficients doivent être égaux ; ainsi. La déduction d'Euler de la valeur π2/6 utilise essentiellement des observations sur les polynômes, en présumant que ces mêmes propriétés sont toujours vraies pour les séries infinies. Auteurs de l'article « Problème de Bâle » : Une démonstration par transformation de Fourier, Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées seront reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel celui-ci définit la fonction ζ, en démontre les propriétés de base et énonce sa célèbre hypothèse. Le raisonnement original d'Euler requiert une justification, mais même sans celle-ci, en obtenant la valeur correcte, il est capable de la vérifier numériquement par rapport aux sommes partielles de la série. Function: _error_handler, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Maintenant, les racines de (sinx)/x (intersection avec l'axe des x) apparaissent précisément pour x = ±nπ, où n = 1, 2, 3…. endobj Function: _error_handler, Message: Invalid argument supplied for foreach(), File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines : Si nous effectuons formellement ce produit et regroupons tous les termes x2, nous voyons que le coefficient de x2 dans sin(x)/x est. endobj On utilise les propriétés suivantes sur les fonctions cotangente cot = cos/sin et cosécante csc = 1/sin, pour tout réel x ∈ ]0, π/2[ : L'idée principale derrière la démonstration est d'encadrer les sommes partielles. Auto-suggest helps you quickly narrow down your search results by suggesting possible matches as you type. L'argument suivant prouve l'identité ζ(2) = π2/6, où ζ est la fonction zêta de Riemann. D'après la formule du binôme généralisée. x��UMo7���#7�(� Lorsque m tend vers l'infini, les parties gauche et droite tendent chacune vers π2/6 donc, par le théorème des gendarmes, L'astuce d'Euler[8] consiste à évaluer d'une seconde façon l'intégrale. �%^� Il a démontré bien plus tard que ζ(2n) a une belle expression en nombres de Bernoulli pour tout entier n > 0. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées seront reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel celui-ci définit la fonction ζ, en démontre les propriétés de base et énonce sa célèbre hypothèse. Copyright © 2020 Adobe. Six ans plus tard, en 1741, Euler produit une démonstration correcte[4]. En multipliant les deux côtés de cette équation par –π2, nous obtenons la somme des inverses des carrés d'entiers positifs. /t5/acrobat-reader/probl%C3%A8me-de-lecture-pdf-3d/td-p/10960644. Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, étudié 40 ans plus tard par Jacques Bernoulli né à Bâle, le problème résiste aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque. Euler, dont Bâle est également la ville natale, annonce en 1735 la découverte de la somme exacte[3]. !��|;�M}�Ӫ�� �0�-[lX�X�0�bֳ����w�~����q���g�5����9�;�}��2+��Z��s�b#+�������_�֮�����HI�2���ؕ�+�����w��f�r���\m��虐J����J��ﳣi�YQ�I�k7o/��(�07�|r���*��Z���z�X��C���zdnu�����[��`L߆G3Jn���z��(���w�U��3�f���Bm���r��;f�*jeFˬ�wN����ν�� ���-�V��\����g���H2!f?S�#��~@~r���g��y\Llpr`2]�ЁB���R3;\"VY^ endstream La fonction est définie pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 1 par la formule suivante[note 2] : En prenant s = 2, nous voyons que ζ(2) est égale à la somme des inverses des carrés d'entiers positifs : On montre facilement, en majorant cette série à termes positifs par une série télescopique, qu'elle converge et que ζ(2) < 5/3 = 1,66…, mais la valeur exacte ζ(2) = π2/6 est demeurée longtemps inconnue, jusqu'à ce qu'Euler la calcule numériquement en 1735, (ré)inventant pour ce faire la formule connue à présent sous le nom de formule sommatoire d'Euler-Maclaurin, et constate son égalité (jusqu'à la vingtième décimale) avec π2/6, puis construise la démonstration. Il suffit pour cela d'appliquer l'égalité de Parseval à la série de Fourier de la fonction périodique de période 2π égale à l'identité sur [–π, π[[9]. %PDF-1.5 entre deux expressions, chacune tendant vers π2/6 quand m tend vers l'infini. La valeur demandée est approximativement égale à 1,64493406684822643. endobj Line: 107 Line: 478 Soit m un entier positif. Il est possible en fait de définir ζ pour tout complexe différent de 1 par différentes méthodes de prolongement : voir, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, De summatione innumerabilium progressionum, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, How Euler did it – Basel Problem with Integrals, Euler’s Solution of the Basel Problem – The Longer Story, How Euler did it – Estimating the Basel Problem, une belle expression en nombres de Bernoulli, identité trigonométrique (déduite de la formule de Moivre), leur somme en fonction des coefficients de, par récurrence, à l'aide d'une intégration par parties, Fonction zêta de Riemann, § Extension à ℂ-{1}, Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann.