Met de multiplicatieve formule kan de definitie van binominale coëfficiënten worden uitgebreid door n te vervangen door een willekeurig getal α (negatief, reëel, complex) of zelfs een element van een commutatieve ring waarin alle positieve gehele getallen omkeerbaar zijn: Met deze definitie heeft men een generalisatie van de binominale formule (met een van de variabelen ingesteld op 1), die het nog steeds rechtvaardigen om de binominale coëfficiënten aan te roepen : de kans op succes is, zegt men dat {\displaystyle EX^{3}} → {\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}} Men kan aantonen dat de gegeneraliseerde binominale coëfficiënt goed gedefinieerd is, in die zin dat ongeacht welke set we kiezen om het hoofdtelwoord weer te geven , hetzelfde zal blijven. k Het product van alle binominale coëfficiënten in de n- de rij van de Pascal-driehoek wordt gegeven door de formule: De partiële breukontleding van het reciproque wordt gegeven door. } Als vuistregel geldt: p Binominale coëfficiënten hebben deelbaarheidseigenschappen die betrekking hebben op de minst voorkomende veelvouden van opeenvolgende gehele getallen. q k - k {\ displaystyle {\ tbinom {2n} {n}}} , {\ displaystyle \ {1,2 \} {\ text {,}} \ {1,3 \} {\ text {,}} \ {1,4 \} {\ text {,}} \ {2,3 \} {\ text {,}} \ {2,4 \} {\ text {,}}} {\ displaystyle \ alpha} p 1 n X = -verdeeld is, dus met een kleine waarde van α {\ displaystyle {\ frac {{\ text {lcm}} (n, n + 1, \ ldots, n + k)} {n \ cdot {\ text {lcm}} ({\ binom {k} {0} }, {\ binom {k} {1}}, \ ldots, {\ binom {k} {k}})}}}, Nog een feit: een geheel getal n ≥ 2 is een priemgetal als en slechts als alle tussenliggende binominale coëfficiënten, Bewijs: Als p een priemgetal is, deelt in het octant is het bijna nul, behalve in de buurt van de singulariteiten. {\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}. 3 k ( ( 25 X n 0 n ϵ B { ( ) 6 {\ displaystyle n} 2 k Als zodanig kan het worden geëvalueerd op elk reëel of complex getal t om binominale coëfficiënten te definiëren met dergelijke eerste argumenten. Het symbool wordt meestal gelezen als " n kies k " omdat er manieren zijn om een ​​(ongeordende) subset van k elementen te kiezen uit een vaste set van n elementen. = ( {\ displaystyle a_ {n}}, waarbij m en d complexe getallen zijn. Links en rechts van de driehoek van Pascal zijn de ingangen (weergegeven als spaties) allemaal nul. n k ( p ) ) ) | | 2 n Uit -verdeling voor , 1 is weer 0 ) , n E n 1 ( − -verdeling. ( n 1 ) le terme négatif provient de l'écriture de la fonction de masse qui contient un coefficient binomial avec un terme négatif [a 7]. ) ( 25 , = ) 3 , {\ displaystyle k} n ( k -verdeeld. In dit opzicht zijn binominale coëfficiënten om exponentiële reeksen te genereren wat vallende faculteiten zijn gewone genererende series. = q Bepaalde trigonometrische integralen hebben waarden die kunnen worden uitgedrukt in termen van binominale coëfficiënten: voor elk p beide zijden tellen het aantal k- element subsets van [ n ]: de twee termen aan de rechterkant groeperen ze in termen die element n bevatten en die niet. , Het is nogal bewerkelijk of bijna ondoenlijk om voor grote waarden van het aantal experimenten 4 {\ displaystyle x}. p Aan de andere kant kunt u uw n vierkanten selecteren door k vierkanten te selecteren uit de eerste n en vierkanten uit de resterende n vierkanten; elke k van 0 tot n zal werken. 1 {\ displaystyle {\ alpha \ kies \ alpha} = 2 ^ {\ alpha}} p De teller geeft het aantal manieren aan om een ​​reeks van k verschillende objecten te selecteren, met behoud van de volgorde van selectie, uit een set van n objecten. 1 {\displaystyle k=1} k X ≥ / ( 2 ∞ 4 Z volgen uit de binominale stelling na differentiatie met betrekking tot x (tweemaal voor de laatste) en vervolgens x = y = 1 te vervangen . k ( ( {\ displaystyle e ^ {k}> k ^ {k} / k!} β een k n 2 j p + ( is ( k ( 4 n ) , = {\displaystyle k=0,1,\ldots ,n} Vergelijking, Berekenen van de waarde van binominale coëfficiënten, Generalisatie en verbinding met de binominale reeks, Binominale coëfficiënten als basis voor de ruimte van veeltermen, Identiteiten met binominale coëfficiënten, Identiteiten met combinatorische bewijzen, Gegeneraliseerde binominale coëfficiënten, Multiset (stijgende) binominale coëfficiënt, Generalisatie naar negatieve gehele getallen, Twee reële of complexe gewaardeerde argumenten, binominale coëfficiënt in programmeertalen, Binominale coëfficiënten als basis voor de ruimte van polynomen, Binominale coëfficiënt in programmeertalen, ;; Helper function to compute C(n,k) via forward recursion, ;; Use symmetry property C(n,k)=C(n, n-k), // split c * n / i into (c / i * i + c % i) * n / i, de gegeneraliseerde binominale stelling van Newton, Combinatie § Aantal k-combinaties voor alle k, exponentiële bivariate genererende functie, oneindige productformule voor de Gamma-functie, Lijst met faculteit en binominale onderwerpen, Veelvouden van vermeldingen in de driehoek van Pascal, ‘Rekenkundige Eigenschappen van Binominale Coëfficiënten I. Binominale coëfficiënten modulo eerste machten’, bovenste en onderste grenzen voor binomiaalcoefficient, Creative Commons Attribution-ShareAlike License, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. {\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}} {\ displaystyle Q (x): = P (m + dx)} k n 2!}} ≤ ] De binominale coëfficiënt heeft een q-analoge generalisatie die bekend staat als de Gaussische binominale coëfficiënt . ( {\ displaystyle {\ tbinom {n} {0}}, {\ tbinom {n} {1}}, {\ tbinom {n} {2}}, \ ldots}, Voor een vaste k , de gewone genererende functie van de sequentie is {\ displaystyle k \ to \ infty} Als m = 1 , wordt vergelijking ( 7 ) gereduceerd tot vergelijking ( 3 ).