1 Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires Ek des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps[36],[37],[38]. On peut, avec elle, obtenir une première estimation de |ζ(1/2 + it)|, l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin). ( , », « L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée ζ' dans le demi-plan σ < 1/2. } = est la fonction caractéristique (ou indicatrice) des carrés. ( ) Elle exprime que tous les zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à 1/2. x On estime donc ce nombre N(T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe Re(s) = 1/2. Par l'intermédiaire de la fonction ζ de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir. ) a C 1 où M est la fonction sommatoire de (la fonction de) Möbius : {\displaystyle C_{3,\nu }} = P 1 ) = 1 1 d ν Par contre sur l'axe Re(s) = 1, la presque périodicité de Bohr cède sa place à la presque périodicité B2, au sens de Besicovitch. s il existe deux constantes c et C strictement positives telles que pour tout σ ∈ [1/2 ; 1] et t > 3, on ait. d 1 2 est paire. Contre-Exemples:0,1,4,6,8,9,10,etc. s , appelés constantes de Stieltjes ou nombres de Stieltjes, sont donnés par[19] : En particulier, Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant Re(s) > 1 la série : Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi-plan Re(s) > 1, définit une fonction holomorphe sur ce demi-plan. ∞ 1 À lire pour commencer. , on a. + i On sait aussi qu'asymptotiquement, la moitié de ces nombres sont positifs. σ {\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{2}={\frac {1}{6}},\quad B_{4}=-{\frac {1}{30}},\quad B_{6}={\frac {1}{42}},\quad B_{8}=-{\frac {1}{30}},\quad \ldots } ∑ . En supposant σ > 1/2 et appelant ν(σ) le plus petit exposant α pour lequel on a d I ν puisque l'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité il en serait fini de l'hypothèse de Riemann. = ν La question de la position des zéros de la dérivée ζ' est liée également à l'hypothèse de Riemann. . | = Les formes minuscules proviennent de l'onciale grecque, une graphie particulière créée à partir de la majuscule et de la cursive romaine vers le IIIe siècle et adaptée à l'écriture à la plume, et sont créées vers le IXe siècle. 1 I 1 {\displaystyle \zeta (s)\sim _{1}{\frac {1}{s-1}}} On a aussi la formule de Ramaswami[18],[note 8] : Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. 1 t {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)} n Γ diverge grossièrement si σ ≤ 0, converge absolument si σ > 1 et diverge si t = 0 et σ ∈ ]0, 1]. 1 En 2000, Tanguy Rivoal a démontré[2] qu'il existe une infinité de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à ζ. Les conséquences sur le comportement de la fonction ζ sont nombreuses. ) On ne connaît aucune valeur de δ qui convient. , ∼ 30 Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet : « Soient